Александр Кувшинников родился в городе Бресте 12 июня 1965 года в семье музыкантов. Закономерно, что музыка с самого детства занимала важнейшее место в его жизни. В возрасте семи лет он прошел конкурс в музыкальную школу №1 г. Бреста по специальности «скрипка» и окончил её в 1980 году.
Далее Александр продолжил свой творческий пусть и с 1980 по 1984 год обучался в Брестском музыкальном училище у лучших музыкантов города. По классу «кларнет» его преподавателем был О.Б. Гуревич, а по классу «дирижирование» – В.С. Мишула.
С отличием окончив училище, Кувшинников в 1984 году поступил в Московскую государственную консерваторию, на военно-дирижерский факультет. Его мастерами по дирижированию и кларнету стали доцент А.И. Гутнов и доктор искусствоведения, профессор Б.А. Диков.
В ходе обучения Александр проходил стажировки в оркестрах московского гарнизона в качестве артиста оркестра, дирижера оркестра, принимал участие в празднике открытия «Игры доброй воли», участвовал в подготовке и проведении парада на Красной площади, посвященном 40-летию Победы советского народа в Великой Отечественной войне 1941-1945 годов, являлся участником Второго всесоюзного фестиваля народного творчества в РСФСР, посвященного 70-летию Великой Октябрьской Социалистической Революции.
В 2006 году Кувшинников поступил в УО «Белорусская государственная академия музыки» по специальности «духовые инструменты (кларнет)» и окончил академию в 2007 году. Тем не менее, это не стало завершением его профессионального роста: Александр регулярно проходит курсы повышения квалификации в столице Беларуси по специальностям «Оркестровое дирижирование» и «Теоретические и методические аспекты образования современного дирижера».
Карьера его также сложилась счастливо: в 80-е – 90-е годы Кувшинников был дирижером оркестров воинских частей. С марта 1993 года он также преподаёт своё мастерство новому поколению музыкантов в Брестском государственном музыкальном колледже имени Г. Ширмы. В том же году Александр стал первым кларнетом симфонического оркестра Брестского театра драмы. Кроме того, долгие годы он являлся руководителем духового оркестра Брестского музыкального колледжа, а с 2007 года стал дирижером симфонического оркестра Брестского театра драмы.
За годы работы Александр Кувшинников принимал активное участие в творческой жизни города и области как солист, артист оркестра и дирижер. Под его руководством духовой оркестр Брестского музыкального колледжа неоднократно принимал участие в праздниках духовой музыки, различных мероприятиях культуры города.
Дважды оркестр принял участие в Республиканском конкурсе оркестровых и хоровых коллективов ССУЗов культуры и искусства Республики Беларусь, трижды духовой оркестр подтвердил присвоенное ему звание «Народный любительский коллектив».
Как дирижер симфонического оркестра Брестского академического театра драмы, Кувшинников подготовил ряд концертных программ и программ для детей. Неоднократно он выступал в составе симфонического оркестра в гастрольных поездках по городам Испании, Франции, Польской Республики, Англии.